3 x 9 = 27. Số hạng đầu tiên của dãy là: 30 - 27 = 3. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau: 1, 5, 9, 13, … Quy luật dãy số: Dãy số đã cho là dãy số cách đều nhau 4 đơn vị. Lời giải: 10 số hạng có số khoảng cách là: 10 - 1 = 9 (khoảng cách) Tổng khoảng cách là: 4 x 9 = 36 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. Công thức tính tổng cấp số cộng: Giải thích: Kí hiệu d được gọi là công sai. = d với mọi n Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển nhị thứcNewton ( 1 + 2 x ) ( 3 + x ) 11. Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển nhị thức Newton (1 + 2 x) (3 + x) 11. 1380 . 4620 . 2890 . 9405. RR. R. Roboteacher127. Giáo viên. University of Pedagogy. 1: hệ số của số hang chứa x 8 trong khai triển ( 1 x4 + 2√x5)12 ( 1 x 4 + x 5 2) 12 2: hệ số của số hang chứa x 16 trong khai triển [1 −x2(1 −x2)]16 [ 1 − x 2 ( 1 − x 2)] 16 3: hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển x(1 −2x)5 +x2(1 +3x)10 x ( 1 − 2 x) 5 + x 2 ( 1 + 3 x) 10 Lớp 11 Toán Bài 3: Nhị thức Niu-tơn 1 0 Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 3 cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách 1: Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối. Cách 2: Bình phương 2 vế. Cách 3: Lập bảng xét dấu để khử trị tuyệt đối. Bài tập bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2 Đáp ứng tần số của hệ thống LTI. Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 54 trang ) Đáp ứng tần số được tính bằng lệnh có cú pháp h=freqz (b,a,w). Trong đó a,b là các hệ số của phương trình trên và w là Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì detA ≠ 0 => m ≠ 0. Xem thêm : Đại số và hình giải tích Bài 1 : Số phức - bài tập và lời giải. Đại số và hình giải tích Bài 2 : Ma trận - bài tập và lời giải. Đại số và hình giải tích Bài 3 : Định thức ma trận - bài Cách tìm số tiệm cận nhanh nhất. Để xác định số đường tiệm cận của hàm số, ta chú ý tính chất sau đây : Nếu \left\ {\begin {matrix} P (x_0)\neq 0\\ Q (x_0)=0 \end {matrix}\right. thì x=x_0 là tiệm cận đứng của hàm số. Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q (x) thì hàm số có Vay Nhanh Fast Money. Câu hỏi Tìm hệ số của số hạng chứa \x^8\ trong khai triển Nhị thức Niu tơn của \{\left {\frac{n}{{2x}} + \frac{x}{2}} \right^{2n}}\,\,\left {x \ne 0} \right\, biết số nguyên dương n thỏa mãn \C_n^3 + A_n^2 = 50.\ A. \\frac{{297}}{{512}}\ B. \\frac{{29}}{{51}}\ C. \\frac{{97}}{{12}}\ D. \\frac{{279}}{{215}}\ Lời giải tham khảo Đáp án đúng A Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ $n$, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phương pháp + Áp dụng khai triển ${a + b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.$ + Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng $A.{x^{fk}}$ với $x$ là ẩn. + Đối chiếu với giả thiết giải phương trình $fk = h$, tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số cần tìm. Lưu ý Một số tính chất của lũy thừa ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$ $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$ ${\left {{a^m}} \right^n} = {a^{ ${ab^m} = {a^m}.{b^m}.$ ${\left {\frac{a}{b}} \right^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.$ $\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.$ $\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.$ $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Tìm hệ số của ${x^{31}}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40 – k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{40}^k{x^{3k – 80}}.$ Để có hệ số của ${x^{31}}$ thì $3k – 80 = 31$ $ \Leftrightarrow k = 37.$ Vậy hệ số của ${x^{31}}$ là $C_{40}^{37} = 9880.$Bài 2 Tìm hệ số không chứa $x$ của khai triển nhị thức Newton của ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ với $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\sqrt[3]{x}^{7 – k}}{\left {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_7^4 = 35.$Bài 3 Tìm hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}.{ – xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k.{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ là $C_{15}^k.{ – 1^k}$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 29}\\ {k = 8} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển là $C_{15}^8.{ – 1^8} = 6435.$Bài 4 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $ = {\left {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^{18}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {2x^{18 – k}}{\left {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{90 – 6k}}{5} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 15.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.$Bài 5 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right^{17}}$ với $x \ne 0.$Lời giải Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{17}^k{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{17 – k}}{\left {{x^{\frac{3}{4}}}} \right^k}$ $ = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {k \le 17} \end{array}} \right..$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{17}^8 = 24310.$Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^8 = 495.$Bài 7 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^3}} \right^{10 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $30 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^6{2^4} = 3360.$Bài 8 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $15 – 2k = 7$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển là $C_{15}^4 = 1365.$Bài 9 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có $ = {\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2x^{10 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5{2^5}{ – 1^5} = – 8064.$Bài 10 Tìm hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} { – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{ – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Hệ số của ${x^{16}}$ là $C_{10}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển $C_{10}^4{ – 2^4} = 3360.$Bài 11 Tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}{xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 25}\\ {k = 10} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 10.$ Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển là $C_{15}^{10} = 3003.$Bài 12 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển của nhị thức Newton ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}.$Lời giải Ta có ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left { – \frac{2}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} { – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – 2k = 8$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{20}^6{ – 2^6} = 2480640.$Bài 13 Tìm hệ số của ${x^8}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ $ = C_8^0 + C_8^1{x^2}1 – x$ $ + C_8^2{x^4}{1 – x^2} + C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ $ + C_8^4{x^8}{1 – x^4} + C_8^5{x^{10}}{1 – x^5}$ $ + C_8^6{x^{12}}{1 – x^6} + C_8^7{x^{14}}{1 – x^7}$ $ + C_8^8{x^{16}}{1 – x^8}.$ Nhận xét Bậc của $x$ trong $3$ số hạng đầu luôn nhỏ hơn $8.$ Bậc của $x$ trong $4$ số hạng cuối luôn lớn hơn $8.$ Do đó ${x^8}$ chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm. Xét trong khai triển $C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Xét trong khai triển $C_8^4{x^8}{1 – x^4}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ là $C_8^ + C_8^ = 238.$Bài 14 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển ${x + 1^4} + {x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là tổng hệ số của ${x^5}$ trong từng khai triển ${x + 1^i}$, $i = \overline {4…7} .$ Nhận xét rằng trong khai triển ${x + 1^4}$ không chứa ${x^5}.$ Ta có ${x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}$ $ = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = 5$ ta được hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.$Bài 15 Cho đa thức $Px = {1 + x^9} + {1 + x^{10}}$ $ + {1 + x^{11}} + \ldots + {1 + x^{14}}$ có dạng khai triển là $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.$ Hãy tính hệ số ${a_9}.$Lời giải Để tính hệ số ${a_9}$ là hệ số của ${x^9}$ ta tính hệ số ${a_9}$ trong từng nhị thức của $Px$ rồi tính tổng của chúng. Xét khai triển ${1 + x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_9^9.$ Xét khai triển ${1 + x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_{10}^9.$ Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong $Px$ ta được ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.$Bài 16 Cho $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm bao nhiêu số hạng?Lời giải Ta có $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left {{x^{ – 2}}} \right^k}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{\left {{x^3}} \right^{10 – h}}{\left {{x^{ – 1}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.$ Trong khai triển ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ có $21$ số hạng và khai triển ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $11$ số hạng. Xét trường hợp $20 – 3k = 30 – 4h$ $ \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.$ Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ suy ra $4h – 10$ phải chia hết cho $3.$ Mặt khác $0 \le h \le 10$, suy ra $h = 4$, $h = 7$, $h = 10.$ Suy ra trong hai khai triển của ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ và ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $3$ số hạng có lũy thừa của $x$ giống nhau. Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm có $21 + 11 – 3 = 29$ số 17 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ bằng tổng hệ số chứa ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5}$ và ${x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Xét khai triển $x{1 – 2x^5}$ $ = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^k{ – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Chọn $k = 4$ ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_5^4{ – 2^4} = 80.$ Xét khai triển ${x^2}{1 + 3x^{10}}$ $ = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3x^h}$ $ = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.$ Chọn $h=3$, ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_{10}^3{3^3} = 3240.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ là $80 + 3240 = 3320.$Bài 18 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{\frac{4}{5}}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k = 729.$ Bài 19 Gọi ${a_0}$, ${a_1}$, ${a_2}$, …, ${a_{11}}$ là hệ số trong khai triển ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.$ Tìm hệ số của ${a_5}.$Lời giải Ta có ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Ta có hệ số ${a_5}$ chính là hệ số của ${x^6}$ trong khai triển. Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}$ có số hạng tổng quát là $C_{10}^k{x^{11 – k}}.$ Chọn $k = 5$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_{10}^5.$ Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}$ có số hạng tổng quát là $2C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Chọn $k = 4$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $2C_{10}^4.$ Vậy ${a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.$Bài 20 Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.$ Chọn $k = 3$, ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là $C_{10}^3 = 120.$Bài 21 Tìm hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.$ Chọn $k = 30$, ta được hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển là $C_{40}^{30} = 847660528.$Bài 22 Tìm hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}$ $ = {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{7 – k}}{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^4{x^2} = 35{x^2}.$Bài 23 Cho đa thức $Px = 1 + x + 2{1 + x^2}$ $ + 3{1 + x^3} + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ được viết dưới dạng $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.$ Tìm hệ số ${a_{15}}$?.Lời giải Hệ số ${a_{15}}$ là hệ số của ${x^{15}}$ trong khai triển $Px.$ Ta nhận thấy ${x^{15}}$ chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ $15$ trở đi, tức là trong tổng $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + 17{1 + x^{17}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}.$ Mà $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ $ = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}$ ta được hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $Px$ là $15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}$ $ + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}$ $ = 400995.$Bài 24 Khai triển $Px = {3 + x^{50}}$ $ = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.$ a/ Tính hệ số ${a_{46}}.$ b/ Tính tổng $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.$Lời giải a Ta có ${3 + x^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}$ $*.$ Ta có ${a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}$, $\forall k = \overline {0..50} .$ Suy ra ${a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.$ b Nhận thấy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.$ Từ $*$ chọn $x= 1$, ta được ${3 + 1^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}$ $ \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.$ Vậy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.$Bài 25 a/ Tìm số hạng của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ là một số nguyên. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}.$ c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}.$ d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}.$Lời giải a Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {{3^{\frac{1}{2}}}} \right^{9 – k}}{\left {{2^{\frac{1}{3}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^k{3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3}\\ {k = 9} \end{array}} \right..$ Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là ${T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536$, ${T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.$ b Ta có ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}$ $ = {3^3}{\left {1 – \sqrt 5 } \right^6}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $27C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Để có số hạng hữu tỷ thì ${5^{\frac{k}{2}}}$ là số hữu tỷ, suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \vdots 2}\\ {k = \overline {0..6} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ là ${T_1} = 27C_6^0 = 27$, ${T_3} = 27C_6^2.{ – 1^2}.5 = 810$, ${T_5} = 27C_6^4{ – 1^4}{.5^2} = 10125$, ${T_7} = 27C_6^6{ – 1^6}{.5^3} = 3375.$ c Ta có ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right^{36}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa $k$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {36 – k \vdots 5}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..36} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là ${T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}$, ${T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}$, ${T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.$ d Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right^{124}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {124 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 4}\\ {k = \overline {0..124} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4h}\\ {k = \overline {0..124} }\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124$ $ \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.$ Vậy có $32$ số hạng nguyên trong khai triển. giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số và tìm số hạng chứa x^k, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Nội dung bài viết Tìm hệ số và tìm số hạng chứa x^k Xác định số hạng tổng quát và kết hợp với yêu cầu của bài toán để thiết lập một phương trình, từ đó tìm ra kết quả mà bài toán yêu cầu. Lưu ý rằng T là số hạng thức k + 1 trong khai triển theo lũy thừa tăng dần của b. Đối với các biểu thức dạng a + b + c^ ta biến đổi a + b + c^ rồi áp dụng khai triển nhị thức Newton 2 lần và tìm số hạng tổng quát. BÀI TẬP DẠNG 4 Ví dụ 1. Tìm hệ số của 215 trong khai triển 3×2 – 2. Theo công thức ở trên, ta có số hạng tổng quát trong khai triển. Vậy số hạng chứa 215 trong khai triển là T5 = 315. Ví dụ 2. Tìm số hạng chứa chủ trong các khai triển . Số hạng tổng quát trong khai triển 23 + 2x^n. Vậy số hạng chứa cl3 trong khai triển đã cho là 225C. Ví dụ 3. Tìm hệ số của c12 trong khai triển, biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển đó bằng 1024. Vậy hệ số của c12 trong khai triển là C = 210. Ví dụ 4. Cho x > 0 và n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện. Tìm số hạng chứa 19 trong khai hạng tổng quát trong khai triển khi m = 12. Vậy số hạng chứa clo trong khai triển đã cho là C10a19.

tìm hệ số của số hạng chứa x 8